一道概率題：下梁歪了，上梁還正嗎？

古人云，上梁不正下梁歪。例如，在不知或看不見上梁的情況下，看到下梁歪了，上梁會如何呢？這個問題，可以用概率論做一個小小的估算。
所謂上梁不正下梁歪，是指上梁對下梁有決定性的影響，不妨假設在上梁不正的情況下，下梁99%是歪的，用概率論的術語，這就是指條件概率P(下歪|上不正)=0.99，從而P(下不歪|上不正)=0.01。當然，在上梁是正的情況下，下梁也可能會歪，但歪的可能性不大，假設僅為1%，即P(下歪|上正)=0.01，從而P(下不歪|上正)=0.99（如果要突出上梁比下梁正直，可以假設P(下歪|上正)=0.1，P(下不歪|上正)=0.9）。
由於看不見上梁，只能先驗地假設上梁是幾乎正直的，不妨設上梁是正直的可能性為99%，即概率P(上正)=0.99，從而P(上不正)=0.01。現在的問題是，當我們看見下梁歪了時，上梁還正嗎？
顯然，在不是下梁不正上梁歪的情況下，不可能因為下梁歪了就說上梁不正。但上梁正的概率（此時為後驗概率P(上不正|下歪)）的確發生了變化。
根據概率論，P(上不正|下歪)=P(下歪|上不正)P(上不正)/[P(下歪|上不正)P(上不正)+P(下歪|上正)P(上正)]，從而在P(下歪|上正)=0.01時，此值等於0.99×0.01/(0.99×0.01+0.01×0.99)=0.5，即有一半的可能性上梁是不正的；而在P(下歪|上正)=0.1時，此值等於0.99×0.01/(0.99×0.01+0.1×0.99)=0.091，這時上梁是正的可能性仍然較大，但歪的可能性已經超過了小概率即5%的臨界水平。
如果改變先驗概率P(上正)及其他條件概率，上述計算結果也會發生變化。這種方法使我們在看不見上梁的情況下，能夠對上梁作出一些判斷。


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